Ensembles finis Exemples

$\frac{2}{x - 9} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 4}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{2}{x - 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2}{x - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 4}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{1}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$\frac{2}{x - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x - 9}{x - 9} - \frac{1}{x - 4}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 9) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2}{x - 9}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (x - 3)}{(x - 9) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x - 9}{x - 9} - \frac{1}{x - 4}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{x - 3}$ par $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$\frac{2 (x - 3)}{(x - 9) (x - 3)} - \frac{x - 9}{(x - 3) (x - 9)} - \frac{1}{x - 4}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 9) (x - 3)$ .

$\frac{2 (x - 3)}{(x - 3) (x - 9)} - \frac{x - 9}{(x - 3) (x - 9)} - \frac{1}{x - 4}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x - 3) - (x - 9)}{(x - 3) (x - 9)} - \frac{1}{x - 4}$

Étape 5

Pour écrire $\frac{2 (x - 3) - (x - 9)}{(x - 3) (x - 9)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 (x - 3) - (x - 9)}{(x - 3) (x - 9)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{x - 4}$

Étape 6

Pour écrire $- \frac{1}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 9)}$ .

$\frac{2 (x - 3) - (x - 9)}{(x - 3) (x - 9)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{(x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 9)}$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x - 9) (x - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{2 (x - 3) - (x - 9)}{(x - 3) (x - 9)}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(2 (x - 3) - (x - 9)) (x - 4)}{(x - 3) (x - 9) (x - 4)} - \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{(x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 9)}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{x - 4}$ par $\frac{(x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 9)}$ .

$\frac{(2 (x - 3) - (x - 9)) (x - 4)}{(x - 3) (x - 9) (x - 4)} - \frac{(x - 3) (x - 9)}{(x - 4) ((x - 3) (x - 9))}$

Étape 7.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x - 9) (x - 4)$ .

$\frac{(2 (x - 3) - (x - 9)) (x - 4)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)} - \frac{(x - 3) (x - 9)}{(x - 4) ((x - 3) (x - 9))}$

Étape 7.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) ((x - 3) (x - 9))$ .

$\frac{(2 (x - 3) - (x - 9)) (x - 4)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)} - \frac{(x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 (x - 3) - (x - 9)) (x - 4) - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9

Réécrivez $\frac{(2 (x - 3) - (x - 9)) (x - 4) - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$ en forme factorisée.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3 - (x - 9)) (x - 4) - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{(2 x - 6 - (x - 9)) (x - 4) - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x - 6 - x - - 9) (x - 4) - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$\frac{(2 x - 6 - x + 9) (x - 4) - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$\frac{(x - 6 + 9) (x - 4) - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.3

Additionnez $- 6$ et $9$ .

$\frac{(x + 3) (x - 4) - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.4

Développez $(x + 3) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 4) + 3 (x - 4) - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (x - 4) - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4 - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4 - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.5.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot - 4 - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.5.1.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 x - 12 - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.5.2

Additionnez $- 4 x$ et $3 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 12 - (x - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x - 12 + (- x - - 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.7

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} - x - 12 + (- x + 3) (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.8

Développez $(- x + 3) (x - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x - 12 - x (x - 9) + 3 (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x - 12 - x \cdot x - x \cdot - 9 + 3 (x - 9)}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x - 12 - x \cdot x - x \cdot - 9 + 3 x + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.9.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 12 - (x \cdot x) - x \cdot - 9 + 3 x + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.9.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 12 - x^{2} - x \cdot - 9 + 3 x + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.9.1.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 12 - x^{2} + 9 x + 3 x + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.9.1.3

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$\frac{x^{2} - x - 12 - x^{2} + 9 x + 3 x - 27}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.9.2

Additionnez $9 x$ et $3 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 12 - x^{2} + 12 x - 27}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.10

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x - 12 + 0 + 12 x - 27}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.11

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{- x - 12 + 12 x - 27}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.12

Additionnez $- x$ et $12 x$ .

$\frac{11 x - 12 - 27}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$

Étape 9.13

Soustrayez $27$ de $- 12$ .

$\frac{11 x - 39}{(x - 3) (x - 4) (x - 9)}$